A Fundamentação Matemática
Começamos com a equação geral da condução térmica, uma afirmação da conservação contínua de energia dentro de um meio físico:
$$\frac{\partial}{\partial x} \left( k \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( k \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( k \frac{\partial u}{\partial z} \right) = c \rho \frac{\partial u}{\partial t}$$
Aqui, $u(x, y, z, t)$ representa a distribuição de temperatura, enquanto $k$, $c$ e $\rho$ representam as propriedades físicas do meio. Embora esta equação seja bela, seus coeficientes variáveis frequentemente tornam sua solução analítica inviável.
A Simplificação da Isotropia
Para atravessar a ponte rumo à computação, empregamos uma restrição simplificadora principal: a suposição de um corpo isotrópico.
Um corpo é isotrópico se a condutividade térmica em cada ponto do corpo for independente da direção do fluxo de calor através desse ponto.
Sob esta suposição, $k$ torna-se uma constante em relação às derivadas espaciais, permitindo-nos simplificar a lei governante na forma bem conhecida forma de Laplaciano:
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{c \rho}{k} \frac{\partial u}{\partial t}$$
A Ponte para a Realidade
Considere um longo e fino bastão de cobre de comprimento $l$. Embora o cálculo nos permita escrever a elegante equação diferencial parcial de segunda ordem para sua distribuição de temperatura, qualquer variação no ambiente do bastão ou em sua fonte interna de calor torna uma solução feita à mão praticamente impossível. A mudança computacional é necessária devido à necessidade de resolver essas equações em geometrias do mundo real que não possuem soluções analíticas fechadas.